Was ist eine Gleichung?

  1. Eine Gleichung ist eine mathematische Aussage, die ein Gleichheitszeichen "=" beinhaltet z. B. $2 + 3 = 5$ ist eine Gleichung. Ebenfalls $8 : 2 = 4$ ist eine Gleichung.
  2. Sehr häufig liegen Gleichungen vor bei denen unbekannte Zahlen vorliegen z. B. $2 + ? = 5$. In diesem Fall gilt für das Fragezeichen: $? = 3$. Die Zahl 3 ist die Lösung der Gleichung.
  3. Für bessere Lesbarkeit werden unbekannte Zahlen in Gleichungen durch Buchstaben dargestellt, z. B. $2 + x = 5$, wobei das x auch als unbekannte Variable bezeichnet wird.
  4. Eine Gleichung ist weiterhin gültig, wenn man die beiden Seiten vertauscht. Beispiel: $2 + x = 5$ ist äquivalent (gleich) zu $5 = 2 + x$.
  5. Gleichungen haben die interessante Eigenschaft, dass sie nach Durchführung gleicher mathematischer Operationen auf beiden Seiten immer noch gelten. Beispiel: $2 + 3 = 5$. Wir können auf beiden Seiten dieser Gleichung eine Zahl aufaddieren z. B. 4. Dann erhalten wir $2 + 3 + 4 = 5 + 4$. die Summe ist auf beiden Seiten der Gleichung 9, womit die Gleichung immer noch ihre Gültigkeit hat.
  6. Um eine Gleichung zu lösen wird versucht die unbekannte Variable zu isolieren. Dabei werden die gleichen mathematischen Operationen auf beiden Seiten der Gleichung angewendet.
    • Beispiel: $2 + x = 5$. Wir addieren auf beiden Seiten die Zahl -2 und erhalten: $2 + x - 2 = 5 - 2$. Da $2 + x - 2 = x$ ist, erhalten wir $x = 3$ als Lösung der Gleichung.
    • Beispiel: $5 \cdot x = 20$. Wir multiplizieren beide Seiten mit $\frac 1 5$ und erhalten: $5 \cdot \frac x 5 = \frac {20}{5}$. Da $5 \cdot \frac x 5 =x$ ist, erhalten wir $x = 4$ als die Lösung der Gleichung.
    • Beispiel: $\frac x 5 = 3$. Wir multiplizieren beide Seiten mit $5$ und erhalten: $5 \cdot \frac x 5 = 5 \cdot 3$. Da $5 \cdot \frac x 5 =x$ ist, erhalten wir $x = 15$ als die Lösung der Gleichung.
    • Trick: bei $2 + x = 5$ (Addition) haben wir -2 aufaddiert und bei $5 \cdot x = 20$ (Multiplikation) haben wir mit $\frac 1 5$ multipliziert. Bei vielen Gleichungen reicht also eine mathematische Operation mit der umgekehrten Zahl aus, um die Gleichung zu lösen.
  7. Wenn eine Gleichung nach einer Variablen gelöst wurde, dann sprechen wir von einer Formel. In Physik wirst du viele Formel und Gleichungen sehen. Die grundlegenden Gleichungen werden in der Regel umrandet. Alle anderen Formeln können daraus hergeleitet werden.
    Mach dir nicht das Leben so schwer indem du alle Formeln auswendig lernst. Lerne von den Physikern und beschränke dich nur auf die wichtigen Formeln, die meistens mit einem Kasten umrandet sind. Physiker sind alles faule Leute (ich übrigens auch). Sie wollen die ganze Welt mit nur einer einzigen Formel beschreiben! Alles andere wird hergeleitet, wenn und wie man es benötigt.