Was ist ein Vektor?

  1. Viele physikalische Größen sind Vektoren. Ein Vektor ist eine Größe, die eine Richtung und eine Länge hat (wie ein Pfeil mit einer Richtung und einer Länge).
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    Abbildung 1: Verschiedene zweidimensionale Vektoren

  2. Die Länge eines Vektors $\vec{v}$ wird auch als sein Betrag bezeichnet und mit $\lvert \vec{v} \rvert$ oder $\lVert \vec{v} \rVert$ dargestellt. Wenn wir keinen Vektorpfeil verwenden, meinen wir auch nur den Betrag des Vektors.
  3. Ein Vektor mit der Länge 1 wird als Einheitsvektor bezeichnet.
  4. Wenn man einen Vektor durch seine Länge dividiert, erhält man einen Einheitsvektor, d. h. einen Vektor mit der Länge 1 und mit der gleichen Richtung des ursprünglichen Vektors.
  5. Vektoren im Raum werden durch ihre Koordinaten angegeben, die man unter einander in Klammern schreibt.
  6. Ein Vektor kann mit einer Zahl k multipliziert werden. Dabei werden alle Koordinaten des Vektors mit der Zahl k multipliziert. Der resultierende Vektor zeigt in die gleiche Richtung, hat aber die k-fache Länge des Ursprungsvektors.
  7. Um die Länge eines Vektors zu bestimmen, quadrieren wir alle Koordinaten, addieren diese und ziehen anschließend die Wurzel. Für den Vektor $\vec{v} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ ist der Betrag (die Länge) $\lvert \vec{v} \rvert = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$.
    • Beispiel: $\lvert \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} \rvert = \sqrt{3^2+4^2} = \sqrt{25} =5$.
  8. Es existieren zwei Arten von Vektoren:

  9. Richtungsvektoren sind freie Vektoren, die jeden Anfangs- und Endpunkt haben können. Richtungsvektoren, die gleiche Koordinaten haben, aber unterschiedliche Anfangspunkte sind parallel zu einander. Betrachten wir nun einen Richtungsvektor, der die Punkte $A(x_1,y_1)$ und $B(x_2,y_2)$ miteinander verbindet. Dieser Vektor (nennen wir ihn $\vec{AB}$ hat die Koordinaten $$\vec{AB} = \begin{pmatrix} x_2-x_1 \\ y_2-y_1 \end{pmatrix}$$
  10. Ortsvektoren oder Positionsvektoren sind feste Vektoren, die immer vom Ursprung des Koordinatensystem O(0,0) beginnen und an einem beliebigen Punkt enden können. Der Endpunkt hat dabei die gleichen Koordinaten wie der Ortsvektor, da z. B. für den Ortsvektor zum Punkt $P (x,y)$ gilt: $$\vec{PO} = \begin{pmatrix} x-0 \\ y-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$$ Beispiel: der Ortsvektor $\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}$ verbindet den Anfangspunkt O(0,0) mit dem Endpunkt P(2,-1).
  11. Zusammenfassend können wir für einen Vektor, der zwei Punkte $A(x_1,y_1)$ und $B(x_2,y_2)$ miteinander verbindet, schreiben $$\vec{AB} = \vec{OA}-\vec{OB} = \begin{pmatrix} x_2-x_1 \\ y_2-y_1 \end{pmatrix}$$