Die Position ist ein Vektor

  1. Betrachten wir die Position eines Objekts im dreidimensionalen Raum. Das Objekt befinde sich am Punkt $P(x,y,z)$. Wir definieren seinen Orts- bzw. Positionsvektor als $$\vec {r} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$$
  2. Wenn sich ein Objekt bewegt, verändern sich die Koordinaten seines Ortsvektors, d. h. sie sind zeitabhängig. Abhängigkeiten drucken wir in der Physik als Funktionen aus, d.h. die einzelnen Koordinaten sind Funktionen der Zeit: $$ \vec {r(t)} =\begin{pmatrix} x (t) \\ y(t) \\ z(t) \end{pmatrix}$$
  3. In der Delta-Schreibweise können wir nun für die Positionsänderung schreiben $$\begin{aligned} \Delta \vec r &=\begin{pmatrix} \Delta x \\ \Delta y \\ \Delta z \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} x_2 - x_1 \\ y_2 - y_1 \\ z_2 - z_1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} x(t_2) - x(t_1) \\ y(t_2) - y(t_1) \\ z(t_2) - z(t_1) \end{pmatrix} \end{aligned} $$
  4. Für die Geschwindigkeit dividieren wir die Positionsänderung $\Delta \vec r$ durch die benötigte Zeit $\Delta t$ und erhalten $$\begin{aligned} \vec {v(t)} &= \frac{\Delta \vec r}{\Delta t} =\begin{pmatrix} \frac{\Delta x}{\Delta t} \\ \frac{\Delta y}{\Delta t} \\ \frac{\Delta z}{\Delta t} \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \frac{x_2 - x_1}{t_2 - t_1} \\ \frac{y_2 - y_1}{t_2 - t_1} \\ \frac{z_2 - z_1}{t_2 - t_1} \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \frac{x(t_2) - x(t_1)}{t_2 - t_1} \\ \frac{y(t_2) - y(t_1)}{t_2 - t_1} \\ \frac{z(t_2) - z(t_1)}{t_2 - t_1} \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} v_x \\ v_y \\ v_z \end{pmatrix} \end{aligned}$$
  5. Die Geschwindigkeit ist also, genauso, wie die Position ein Vektor. Dies kann man sich anschaulich so vorstellen, dass eine Bewegung und auch die entsprechende Geschwindigkeit eine Richtung besitzt. Unsere Betrachtungen aus Kapitel 1 haben sich nur auf den Betrag des Geschwindigkeitsvektors beschränkt. Nun können wir auch entsprechend die Bewegungsrichtung berücksichtigen.
  6. Die Beschleunigung ist ebenfalls eine Vektorgröße. Für sie gilt in analoger Weise $$ \vec{a(t)} = \frac{\Delta \vec v}{\Delta t} =\begin{pmatrix} \frac{\Delta v_x}{\Delta t} \\ \frac{\Delta v_y}{\Delta t} \\ \frac{\Delta v_z}{\Delta t} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_x \\ a_y \\ a_z \end{pmatrix}$$
  7. In der Regel (nicht immer) beeinflussen sich die Koordinaten des Orts-, des Geschwindigkeits- und des Beschleunigungsvektors nicht gegenseitig. Das bedeutet, dass die Bewegung eines Objekts in x Richtung völlig unabhängig von seiner Bewegung in y- oder z-Richtung betrachtet werden kann. Ein gutes Beispiel hierfür sind die Wurfbewegungen. Hierbei kann die Bewegung in x-, y- und Z-Richtung zerlegt und bis zum Ende separat voneinander betrachtet werden.