Wie addiert man Vektoren?

  1. Viele physikalische Größen sind Vektoren. Natürlich stellt sich nun die Frage, wie man diese addiert.
  2. Betrachten wir zwei Vektoren $\vec{v} = \begin{pmatrix} v_x \\ v_y \\ v_z \end{pmatrix}$ und $\vec{u} = \begin{pmatrix} u_x \\ u_y \\ u_z \end{pmatrix}$. Bei der Addition addieren wir die entsprechenden Koordinaten miteinander, d.h. $$\vec{v} + \vec{u} = \begin{pmatrix} v_x \\ v_y \\ v_z \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} u_x \\ u_y \\ u_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} v_x + u_x \\ v_y + u_y \\ v_z + u_z \end{pmatrix}$$
  3. Beispiel: Die Summe der Vektoren $\vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ -4 \end{pmatrix}$ und $\vec{u} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix}$ ist $\vec{v} + \vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}$ .
  4. Vektoren kann man auch grafisch addieren. Dafür werden die Vektoren so verschoben, dass der Startpunkt eines Vektors auf den Endpunkt eines anderen liegt (s. Abbildung 1a). Der Summenvektor hat den Ausgangspunkt des ersten Vektors und den Endpunkt des letzten Vektors.
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    Abbildung 1: a: Addition von Vektoren u und v.
    b und c: Subtraktion der Vektoren u und v.

  5. Die Addition von Vektoren wird auch Überlagerung oder Superposition genannt. Wenn wir von Superposition und Überlagerung von Vektoren sprechen, meinen wir also nur ihre Summe!
  6. Bei der Vektoraddition addieren sich die Längen nicht unbedingt. Wenn zwei Vektoren exakt in die gleiche Richtung zeigen (also parallel sind) addieren sich Ihre Längen. Wenn aber diese genau in entgegengesetzte Richtung zeigen (also antiparallel sind), dann subtrahieren sich ihre Längen.