Das rechtwinkelige Dreieck

  1. Wenn man drei Punkte, die nicht auf einer Gerade liegen miteinander verbindet, dann erhält man ein Dreieck. Das Dreieck ist die einfachste geometrische Struktur, die eine zweidimensionale Ebene definiert. Wir haben gesehen, dass die grafische Addition von Vektoren ebenfalls Dreiecke produziert.
  2. Die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks auf einer flachen Ebene beträgt 180°. Wenn die Ebene gekrümmt ist, dann kann auch die Summe der Winkel eines Dreiecks mehr oder weniger als 180° betragen. Um herauszufinden, ob das Universum flach oder gekrümmt ist, müssen wir also die Innenwinkel eines großen Dreiecks (z. B. zwischen den Galaxien) messen.
  3. Ein Winkel von 90° wird ein rechter Winkel genannt. Ein Dreieck, das einen rechten Winkel besitzt, bezeichnet man als ein rechtwinkeliges Dreieck. In einem rechtwinkeligen Dreieck ist die Seite, die dem rechten Winkel gegenüber liegt, die längste Seite. Sie wird Hypotenuse genannt. Es ist die Seite c in der Abbildung 1a.
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    Abbildung 1: a: Seiten und Winkel in einem rechtwinkeligen Dreieck
    b: Seiten und Winkel in einem nicht rechtwinkeligen Dreieck

  4. Betrachten wir einen nicht rechten Winkel in einem Rechtwinkeligen Dreieck: Die Seite, die dem Winkel gegenüber liegt, wird Gegenkathete genannt. Die Seite, die an dem betrachteten Winkel liegt wird Ankathete genannt.
  5. Der Grieche Pythagoras hat schon vor ca. 2500 Jahren herausgefunden, dass die Summe der Quadraten der kürzeren Seiten in einem rechtwinkeligen Dreieck gleich dem Quadrat der Hypotenuse in diesem Dreieck ist. $$\boxed{a^2+b^2=c^2} \enspace \text{Satz vom Pythagoras}$$
  6. In einem rechtwinkeligen Dreieck sind einige Verhältnisse besonders relevant z. B. Gegenkathete eines Winkels dividiert durch die Hypotenuse. Diese Verhältnisse benennen wir, damit wir genau wissen von welchem Verhältnis wir sprechen $$\text{Der Sinus eines Winkels} =\frac{\text{Gegenkathete des Winkels}}{\text{Hypotenuse}} $$ $$\text{Der Kosinus eines Winkels} =\frac{\text{Ankathete des Winkels}}{\text{Hypotenuse}}$$ Für den Winkel $\alpha$ können wir schreiben $$ sin(\alpha) =\frac a c $$ $$ cos(\alpha) =\frac b c $$ Für den Winkel $\beta$ können wir schreiben $$ sin(\beta) =\frac b c $$ $$ cos(\beta) =\frac a c $$ Für den Winkel $\gamma$ können wir schreiben $$ sin(\gamma) =\frac c c = 1 $$ $$ cos(\gamma) =\frac ? c = 0 $$
  7. Aus diesen einfachen Definitionen können wir folgendes herleiten: $$\boxed{sin(\alpha)^2 + cos(\alpha)^2 = 1}$$ $$\boxed{sin(0) = cos (90) = 0}$$ $$\boxed{sin(90) = cos(0) = 1}$$
  8. In einem beliebigen Dreieck gilt der sogenannte Kosinussatz $$\boxed{a^2 = c^2 +b^2 - 2bc \cdot cos (\alpha)}$$ $$\boxed{b^2 = a^2 +c^2 - 2ac \cdot cos (\beta)}$$ $$\boxed{c^2 = a^2 +b^2 - 2ab \cdot cos (\gamma)}$$
  9. Wir definieren zusätzliche den Tangens (tan) und den Kotangens (cotan) eines Winkels, in dem wir den Sinus durch den Kosinus dividieren und erhalten: $$\boxed{tan(\alpha) = \frac{sin(\alpha)}{cos(\alpha)} = \frac {1}{cotan(\alpha)}}$$ $$\boxed{cotan(\alpha) = \frac{cos(\alpha)}{sin(\alpha)} = \frac {1}{tan(\alpha)}}$$ Im rechtwinkeligen Dreieck gilt also $$tan (\alpha) = \frac {a/c}{b/c} = \frac a b $$ $$cotan (\alpha) = \frac {b/c}{a/c} = \frac b a$$
  10. Für zwei beliebige Winkel $\alpha$ und $\beta$ gilt: $$sin(\alpha+\beta) = sin(\alpha)cos(\beta) +cos(\alpha)sin(\beta)$$ $$cos(\alpha+\beta) = cos(\alpha)cos(\beta) - sin(\alpha)sin(\beta)$$