Wie zerlegt man Vektoren?

  1. Viele physikalische Größen sind Vektoren. Man kann Vektoren addieren und Zerlegen. Eine Zerlegung von Vektoren ist bei vielen physikalischen Fragestellungen hilfreich.
  2. Betrachten wir eine beliebige Zahl, z. B. 6. Diese Zahl können wir immer in zwei Zahlen zerlegen, z. B. 1+5 oder 2+4 oder -1+7, denn die Summe ergibt immer 6. Mit Vektoren können wir genau das gleiche durchführen. Jeder Vektor kann als Summe zweier Vektoren beschrieben werden. Dabei gibt es unzählige Möglichkeiten diese zwei Vektoren anzugeben (s. Abbildung 1a).
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    Abbildung 1: a: Zerlegung des Vektors v in zwei beliebige Vektoren mit beliebigen Winkeln
    b: Zerlegung des Vektors v in zwei beliebige Vektoren, die senkrecht aufeinander stehen

  3. In welche zwei Vektoren wir einen Vektor zerlegen, hängt von der Aufgabenstellung und vom Bezugssystem (Koordinatensystem ab). Meist wird versucht einen Vektor in ein rechtwinkeliges Bezugssystem zu zerlegen (s. Abbildung 1b). Bei Wurfaufgaben werden Vektoren in horizontale und vertikale Richtung zerlegt. Bei Aufgaben zur schiefen Ebene werden Vektoren in Richtung parallel und senkrecht zur schiefen Ebene zerlegt.
  4. Vektoren werden durch ihre Länge (auch Betrag genannt) und ihre Richtung bestimmt. Die Richtung wird durch die Aufgabenstellung vorgegeben. Der Betrag lässt sich aus den relevanten Größen in Dreiecken herleiten, wie z. B. Sinus, Kosinus und der Kosinussatz.
  5. Betrachten wir nun die Zerlegung des Vektors $\vec v$ in der Abbildung 1b, wobei wir eine Zerlegung in zwei Vektoren $\vec {v_1}$ und $\vec {v_2}$ vornehmen, die senkrecht aufeinander stehen (d. h. $\alpha + \beta = 90 \degree$)
    Es gilt: $$\sin (\alpha) = \frac {v_1}{v} = \cos (\beta)$$ und $$\cos (\alpha) = \frac {v_2}{v} = \sin (\beta)$$ Für die Länge der Zerlegungskomponenten gilt also $$v_1 = v \cdot \sin (\alpha) = v \cdot \cos (\beta)$$ bzw. $$v_2 = v \cdot \cos (\alpha) = v \cdot \sin (\beta)$$