Quadratische Gleichungen und Parabel

  1. Eine Gleichung, in der die unbekannte Variable den Exponenten eins besitzt, wird als eine lineare Gleichung bezeichnet. Die einfachste lineare Gleichung lautet $x = a$, Wobei $a$ jede beliebige Zahl sein kann. Zum Beispiel für $a=1$ würde die Gleichung folgendermaßen aussehen $x=1$. Diese Gleichung ist eine lineare Gleichung, da der unbekannte Variable $x$ den Exponenten eins trägt.
    Die grafische Darstellung linearer Funktionen resultiert in Geraden.
  2. Eine Gleichung, in der die unbekannte Variable den Exponenten zwei besitzt, wird als eine quadratische Gleichung bezeichnet. Die einfachste quadratische Gleichung lautet $x^2 = a$, Wobei $a$ jede beliebige Zahl sein kann. Zum Beispiel für $a=1$ würde die Gleichung folgendermaßen aussehen $x^2=1$ Diese Gleichung ist eine quadratische Gleichung, da der unbekannte Variable $x$ den Exponenten zwei trägt.
  3. Quadratische Gleichungen können auch lineare Terme enthalten, sodass eine quadratische Gleichung allgemein folgendermaßen ausschaut $$x^2+px+q=0$$ Die unbekannte Variable x lässt sich aus der p-q-Formel bestimmen $$x_{1,2}= -\frac p 2 \pm \sqrt{(\frac p 2)^2 -q}$$
  4. Eine Funktion, in der die unbekannte Variable den Exponenten zwei besitzt, wird als eine quadratische Funktion bezeichnet. Die einfachste quadratische Funktion lautet $$f(x) = x^2$$ Quadratische Funktionen können auch lineare Terme enthalten, sodass eine quadratische Funktion allgemeine folgendermaßen aussieht $$f(x) = ax^2+bx+c$$
  5. Wie kommt man nun von einer quadratischen Funktion zu einer quadratischen Gleichung?
    Ganz einfach, indem man die Funktion einem Wert gleichsetzt, z. B. $f(x) =0$ oder $f(x) =17$
    Mathematiker nennen x-Werte für die die Funktion den Wert Null annimmt (d. h. $f(x)=0$ wird) als Nullstellen. Wenn wir also die quadratische Gleichung $x^2+px+q=0$ mit der p-q-Formel nach x auflösen, tuen wir nichts anders als die Nullstellen der Funktion $f(x) = x^2+px+q$ zu bestimmen.
  6. Die grafische Darstellung von quadratischen Funktionen resultiert in so genannten Parabeln. Wenn die Parabel die x-Achse schneidet bzw. berührt reden wir von Nullstellen. Da quadratische Gleichungen keine, eine oder zwei Lösungen haben können, können auch quadratische Funktionen keine, eine oder zwei Nullstellen haben (Abbildung 1).
    Nullstellen von Parabeln

    Abbildung 1: Eine quadratische Funktion (Parabel) kann
    entweder die x-Achse überhaupt nicht berühren, d. h. sie besitzt keine Nullstellen (siehe Parabel a). In diesem Falls hat die entsprechende quadratische Gleichung f(x) = 0 keine Lösung,
    oder die x-Achse genau an einem Punkt berühren, d. h. sie besitzt genau eine Nullstelle (siehe Parabel b). Der Berührungspunkt mit der x-Achse ist gleichzeitig der Scheitelpunkt der Parabel. In diesem Falls hat die entsprechende quadratische Gleichung f(x) = 0 genau eine Lösung,
    oder die x-Achse in zwei Punkten berühren, d. h. sie besitzt zwei Nullstellen (siehe Parabel c). In diesem Falls hat die entsprechende quadratische Gleichung f(x) = 0 zwei Lösungen.

  7. Eine quadratische Gleichung kann keine, eine oder zwei Lösungen besitzen. Das hängt von der Zahl unter der Wurzel ab. Diese Zahl nennen wir das Delta ($\Delta$), d. h. $$\Delta = (\frac p 2)^2 -q $$ Bei $\Delta <0$ ist die Wurzel nicht definiert, sodass keine Lösung angegeben werden kann. Grafisch schneidet die Parabel die x-Achse nicht.
    Bei $\Delta = 0$ ist die Wurzel gleich Null, sodass nur eine Lösung angegeben werden kann, nämlich $x_1 = x_2= -\frac p 2$. Grafisch beruht die Parabel die x-Achse genau an einem Punkt.
    Für Streber der Nation: Diese Lösung wird auch als eine doppelte Nullstelle oder entartete Lösung bezeichnet.
    Bei $\Delta > 0$ ist die Wurzel positiv, sodass zwei Lösungen angegeben werden können, nämlich $x_{1,2}= -\frac p 2 \pm \sqrt{(\frac p 2)^2 -q}$. Grafisch schneidet die Parabel die x-Achse in zwei Punkten.

Beispiel: Bewegung mit konstanter Beschleunigung

  1. Eine der wichtigsten quadratischen Funktionen in der Physik ist die zurückgelegte Strecke $s$ in Abhängigkeit von der Zeit $t$ bei konstanter Beschleunigung $a$, d.h. $$s(t) = \frac 1 2 a t^2 + v_0 t + s_0$$ Wobei $v_0$ die Anfangsgeschwindigkeit und $s_0$ die Startstrecke bezeichnen.
  2. Bestes Beispiel für eine Bewegung mit konstanter Beschleunigung ist die Bewegung auf der Erde. Die Erde übt auf allen Objekten, die sich auf ihrer Oberfläche befinden die Anziehungskraft $$F=mg$$ wobei $g \approx - 10 m/s^2$ die "konstante" Erdbeschleunigung darstellt. Das Minus-Zeichen deutet an, dass die Erdbeschleunigung zum Erdmittelpunkt, also nach unten zeigt.