Wurfbewegungen verstehen

  1. Bei den Wurf- und Fallaufgaben wird das Verhalten eines Objekts unter dem Einfluss der Erdanziehung für bestimmte Anfangsgeschwindigkeiten untersucht.
  2. Die Erde zieht alle Körper mit einer Masse m mit der Gewichtskraft $$\boxed{F = m \cdot g}$$ an. Dabei zeigt die Gewichtskraft zum Erdmittelpunkt, also nach unten.
  3. Wenn ein Objekt fallen gelassen wird, ist seine Anfangsgeschwindigkeit gleich Null. Wir sprechen dann von einem freien Fall. Hierbei wirkt nur die Erdanziehung in Form der Gewichtskraft.
  4. Wenn ein Objekt geworfen wird, ist seine Anfangsgeschwindigkeit ungleich Null. Wir sprechen dann von einem Wurf. Erfolgt der Wurf senkrecht nach oben, dann sprechen wir von einem vertikalen Wurf nach oben. Wird das Objekt horizontal, d. h. parallel zur Erdoberfläche geworfen, so sprechen wir von einem horizontalen Wurf. Erfolgt der Wurf schief, so sprechen wir von einem schiefen Wurf.

Freier Fall

  1. Beim freien Fall, wirkt nur die Gewichtskraft nach unten. Es erfolgt keine Bewegung in horizontaler Richtung. Deshalb können wir das Problem in nur einer Dimension nämlich in der vertikalen Dimension lösen (da sich ja in horizontaler Dimension nichts tut).
  2. Beim freien Fall, ist die Anfangsgeschwindigkeit gleich Null, d. h. $$\vec v_0 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$
  3. Für die Geschwindigkeit in Abhängigkeit von der Zeit gilt: $$\vec v(t) = \begin{pmatrix} 0 \\ -gt \end{pmatrix}$$
  4. Für die Position in Abhängigkeit von der Zeit gilt: $$\vec r(t) = \begin{pmatrix} 0 \\ - \frac 1 2 gt^2 + y_0 \end{pmatrix}$$ Wobei $y_0$ die Starthöhe des Falls darstellt.

Senkrechter Wurf

  1. Beim senkrechten Wurf nach oben, wirkt nur die Gewichtskraft nach unten. Es erfolgt keine Bewegung in horizontaler Richtung. Deshalb können wir das Problem in nur einer Dimension nämlich in der vertikalen Dimension lösen (da sich ja in horizontaler Dimension nichts tut).
  2. Beim senkrechten Wurf nach oben, ist die Anfangsgeschwindigkeit in vertikaler Richtung ($v_{0,y}$) ungleich Null, d. h. $$\vec v_0 = \begin{pmatrix} 0 \\ v_{0,y} \end{pmatrix}$$
  3. Für die Geschwindigkeit in Abhängigkeit von der Zeit gilt: $$\vec v(t) = \begin{pmatrix} 0 \\ -gt + v_{0,y} \end{pmatrix}$$
  4. Für die Position in Abhängigkeit von der Zeit gilt: $$\vec r(t) = \begin{pmatrix} 0 \\ - \frac 1 2 gt^2 + v_{0,y} t + y_0 \end{pmatrix}$$ Wobei $y_0$ die Starthöhe des Falls darstellt.

Waagerechter Wurf

  1. Beim waagerechten Wurf, wirkt nur die Gewichtskraft nach unten, die eine Fall-Bewegung, wie im freien Fall hervorruft. Es erfolgt zusätzlich eine Bewegung in horizontaler Richtung, da die Anfangsgeschwindigkeit in horizontaler Richtung ($v_{0,x}$) nicht gleich Null ist. Deshalb müssen wir das Problem in zwei Dimension nämlich in der vertikalen (y-Achse) und horizontalen (x-Achse) Dimension lösen.
  2. Beim waagerechten Wurf, ist die Anfangsgeschwindigkeit in horizontaler Richtung ungleich Null, aber in vertikaler Richtung gleich Null, d. h. $$\vec v_0 = \begin{pmatrix} v_{0,x} \\ 0 \end{pmatrix}$$
  3. Für die Geschwindigkeit in Abhängigkeit von der Zeit gilt: $$\vec v(t) = \begin{pmatrix} v_{0,x} \\ -gt \end{pmatrix}$$
  4. Für die Position in Abhängigkeit von der Zeit gilt: $$\vec r(t) = \begin{pmatrix} v_{0,x} t + x_0 \\ - \frac 1 2 gt^2 + y_0 \end{pmatrix}$$ Wobei $y_0$ die Starthöhe des Falls darstellt.

Schiefer Wurf

  1. Der schiefe Wurf ist die Kombination aus senkrechtem Wurf nach oben und waagerechtem Wurf. Der Trick besteht hierbei darin den Vektor der Anfangsgeschwindigkeit in vertikaler ($v_{0,y}$) und horizontaler ($v_{0,x}$) Richtung zu zerlegen. Danach werden die Richtungen unabhängig voneinander berücksichtigt.
  2. Beim waagerechten Wurf, ist die Anfangsgeschwindigkeit in horizontaler und vertikaler Richtung ungleich Null, d. h. $$\vec v_0 = \begin{pmatrix} v_{0,x} \\ v_{0,y} \end{pmatrix}$$
  3. Für die Geschwindigkeit in Abhängigkeit von der Zeit gilt: $$\vec v(t) = \begin{pmatrix} v_{0,x} \\ -gt + v_{0,y} \end{pmatrix}$$
  4. Für die Position in Abhängigkeit von der Zeit gilt: $$\vec r(t) = \begin{pmatrix} v_{0,x} t + x_0 \\ - \frac 1 2 gt^2 + v_{0,y} t + y_0 \end{pmatrix}$$ Wobei $y_0$ die Starthöhe des Falls darstellt.
  5. Wie können wir aber die Anfangsgeschwindigkeit bestimmen, wenn nur die Gesamtgeschwindigkeit $v_{ges}$ und den Wurfwinkel $\alpha$ gegeben sind. Hierbei helfen uns der Sinus und der Kosinus $$\vec v_0 = \begin{pmatrix} v_{0,x} \\ v_{0,y} \end{pmatrix} = v_{ges} \cdot \begin{pmatrix} cos (\alpha) \\ sin (\alpha) \end{pmatrix}$$ $$\vec v_0 = = \begin{pmatrix} v_{ges} \cdot cos (\alpha) \\ v_{ges} \cdot sin (\alpha) \end{pmatrix}$$

Abschließende Bemerkungen zu Wurfaufgaben

  1. Wann wird die maximale Höhe erreicht?
    Am höchsten Punkt der Wurfbahn ist die Vertikale Geschwindigkeit gleich Null, d. h. $v_y(t_{HP})=0$. Hieraus kann nun die Zeit $t_{HP}$ berechnet werden, die ein Objekt benötigt, um den höchsten Punkt zu erreichen.
    Für die y-Koordinate (vertikale) der Geschwindigkeit gilt allgemein $$v_y (t) = -g t + v_{0,y}$$ Für den höchsten Punkt schreiben wir also $$v_y(t_{HP})=0$$ $$-g t_{HP} + v_{0,y} = 0$$ $$ t_{HP} = \frac{v_{0,y}}{g}$$
  2. Welche maximale Höhe erreicht ein Objekt nach dem Wurf?
    Am höchsten Punkt der Wurfbahn ist die Vertikale Geschwindigkeit gleich Null, d. h. $v_y(t_{HP})=0$. Hieraus kann nun die Zeit $t_{HP}$ berechnet werden, die ein Objekt benötigt, um den höchsten Punkt zu erreichen. Die maximale Höhe ist dann die y-Koordinate des höchsten Punktes, also $$y (t_{HP}) = - \frac 1 2 g t_{HP}^2 + v_{0,y} t_{HP} + y_{0,y}$$
  3. Wann erreicht das Objekt den Boden (auch Flugzeit genannt)?
    So, wie wir unser Bezugssystem gewählt haben, hat das Objekt am Boden die Höhe $y (t_F)=0$, wobei $t_F$ die gesuchte Flugzeit oder Aufprallzeit darstellt. Für die Höhe (d.h. die vertikale Komponente des Positionsvektors) gilt $$- \frac 1 2 gt_F^2 + v_{0,y} t_F + y_0 = 0$$ Wir multiplizieren beide Seiten der Gleichung mit $-\frac 2 g$ und erhalten $$t_F^2 -\frac {2 v_{0,y}}{g} t_F - \frac{2 y_0}{g} = 0$$ Dies ist eine quadratische Gleichung der Form $t^2+pt+q^2 =0$ mit $p=-\frac {2 v_{0,y}}{g}$ und $q=- \frac{2 y_0}{g}$, die wir mit der p-q-Formel lösen können $$t_F = \frac {v_{0,y}}{g} \pm \sqrt{(\frac {v_{0,y}}{g})^2 + \frac{2 y_0}{g}}$$ Dies ist die allgemeine Formel für die Flugzeit. Diese Formel kann für alle Wurfaufgaben verwendet werden. Für den freien Fall und den waagerechten Wurf gilt $v_{0,y}$. Einsetzen in $t_F$ liefert die Flugzeit für den freien Fall und den waagerechten Wurf $$t_F = \sqrt {\frac {2y_0}{g}}$$ Für den senkrechten Wurf nach oben und unten, sowie für den schiefen Wurf ist die Flugzeit $$t_F = \frac {v_{0,y}}{g} \pm \sqrt{(\frac {v_{0,y}}{g})^2 + \frac{2 y_0}{g}}$$ Beim schiefen Wurf können wir für die Anfangsgeschwindigkeit schreiben $v_{0,y} =v_0 sin (\alpha)$, wobei $\alpha$ der Wurfwinkel darstellt. Einsetzen ergibt: $$t_F = \frac {v_0 sin (\alpha)}{g} \pm \sqrt{(\frac {v_0 sin (\alpha)}{g})^2 + \frac{2 y_0}{g}}$$
    Ich empfehle dir diese Formel gar nicht auswendig zu lernen. Was du brauchst ist nur $y (t_F)=0$ für die Flugzeit und natürlich $y(t) = - \frac 1 2 gt^2 + v_{0,y} t + y_0$. Damit kannst du dir die Flugzeiten für alle möglichen Szenarien ausrechnen. Das musst du nur ein Paar mal selbst üben und dann klappt es auch. Mach dir nicht das Leben so schwer indem du alle Formeln auswendig lernst. Lerne von den Physikern und beschränke dich nur auf die wichtigen Formeln, die meistens mit einem Kasten umrandet sind. Physiker sind alles faule Leute (ich übrigens auch). Sie wollen die ganze Welt mit nur einer einzigen Formel beschreiben! Alles andere wird hergeleitet, wenn und wie man es benötigt.
  4. Mit welcher Geschwindigkeit erreicht das Objekt den Boden (Aufprallgeschwindigkeit)?
    Für die Geschwindigkeit in Abhängigkeit von der Zeit gilt: $$\vec v(t) = \begin{pmatrix} v_{0,x} \\ -gt + v_{0,y} \end{pmatrix}$$ Beim Aufprall gile $t=t_F$, die wir oben berechnet haben. Der Geschwindigkeitsvektor beim Aufprall lautet also $$\vec v(t_F) = \begin{pmatrix} v_{0,x} \\ -gt_F + v_{0,y} \end{pmatrix}$$ Für die Größe der Geschwindigkeit, d.h. den Betrag des Geschwindigkeitvektors gilt $$v =\sqrt{(v_{0,x})^2 +(-gt_F + v_{0,y})^2}$$ Wobei $v_{0,x} =v_0 cos (\alpha)$, $v_{0,y} =v_0 sin (\alpha)$ und $t_F = \frac {v_0 sin (\alpha)}{g} \pm \sqrt{(\frac {v_0 sin (\alpha)}{g})^2 + \frac{2 y_0}{g}}$
  5. Wie weit fliegt das Objekt, bis es den Boden erreicht?
    Hierzu benötigen wir erstmal die Flugzeit $t_F$, die wir weiter oben berechnet haben $$t_F = \frac {v_{0,y}}{g} \pm \sqrt{(\frac {v_{0,y}}{g})^2 + \frac{2 y_0}{g}}$$ Anschließend setzen wir $t_F$ in die horizontale (x-) Komponente des Ortsvektors $x(t)= v_{0,x} \cdot t $ ein und erhalten für die Flugweite $x_F$ $$x_F = x(t_F) = v_{0,x} \cdot t_F$$ $$x_F = v_{0,x} \cdot t_F = v_{0,x} \cdot ( \frac {v_{0,y}}{g} \pm \sqrt{(\frac {v_{0,y}}{g})^2 + \frac{2 y_0}{g}})$$ Wobei $v_{0,x} =v_0 cos (\alpha)$, $v_{0,y} =v_0 sin (\alpha)$

Übersicht über relevanten physikalischen Größen für Wurfbewegungen

Physikalische Größe Freier Fall Senkrechter Wurf Waagerechter Wurf Schiefer Wurf am Boden Schiefer Wurf allgemein
$a_x$
Horizontale Beschleunigung
$0$ $0$ $0$ $0$ $0$
$a_y$
Vertikale Beschleunigung
$-g$ $-g$ $-g$ $-g$ $-g$
$v_{0x}$
Horizontale Anfangsgeschwindigkeit
$0$ $0$ $v_0$ $v_0 cos(\alpha)$ $v_0 cos(\alpha)$
$v_{0y}$
Vertikale Anfangsgeschwindigkeit
$0$ $v_0$
Falls positiv: Wurf nach oben
Falls negativ: Wurf nach unten
0 $v_0 sin(\alpha)$ $v_0 sin(\alpha)$
$v_x(t)$
Horizontale Geschwindigkeit
$0$ $0$ $v_0$ $v_0 cos(\alpha)$ $v_0 cos(\alpha)$
$v_y(t)$
Vertikale Geschwindigkeit
$-gt$ $-gt +v_0$ $-gt$ $-gt + v_0 sin(\alpha)$ $-gt + v_0 sin(\alpha)$
Startweite $x_0$
Kann durch die Wahl des Bezugssystems eliminiert werden
$0$ $0$ $0$ $0$ $0$
Starthöhe $y_0$ $y_0$ $y_0$ $y_0$ $0$ $y_0$
$x(t)$
Zurückgelegte horizontale Strecke
$0$ $0$ $v_0 t$ $v_0 t cos(\alpha)$ $v_0 t cos(\alpha)$
$y(t)$
Zurückgelegte vertikale Strecke
$- \frac 1 2 g t^2 +y_0$ $- \frac 1 2 g t^2+ v_0 t +y_0$ $- \frac 1 2 g t^2 +y_0$ $- \frac 1 2 g t^2+ v_0 sin(\alpha) t$ $- \frac 1 2 g t^2+ v_0 sin(\alpha) t + y_0$
Flugzeit $t_F$
Berechnung über: $y(t_F)=0$
$ \sqrt {\frac {2y_0}{g}}$ $\frac {v_0}{g} + \sqrt{(\frac {v_0}{g})^2 + \frac{2 y_0}{g}}$ $\sqrt {\frac {2y_0}{g}}$ $\frac {2 v_0 sin (\alpha)}{g}$ $\frac {v_0 sin (\alpha)}{g} + \sqrt{(\frac {v_0 sin (\alpha)}{g})^2 + \frac{2 y_0}{g}}$
Wurfweite $x_F$
Berechnung über:$x_F = x(t_F)$
$0$ $0$ $v_0 \cdot \sqrt {\frac {2y_0}{g}}$ $\frac {v^2_0 sin (2 \alpha)}{g}$ $v_0 cos(\alpha) \cdot (\frac {v_0 sin (\alpha)}{g} + \sqrt{(\frac {v_0 sin (\alpha)}{g})^2 + \frac{2 y_0}{g}})$
Vereinfachen...
Aufprallgeschwindigkeit
$v(t_F) = \sqrt { (v_x(t_F))^2 + (v_y(t_F))^2 } $
Falls Massen bekannt sind, ist die Berechnung über Energieerhaltung einfacher!
$\sqrt{2 g y_0}$ $\sqrt{v_0^2 + 2 g y_0}$ $\sqrt{v_0^2 + 2gy_0}$ $v_0$ Berechnung läuft...
Zeit fürs Erreichen des höchsten Punkts $t_{HP}$
Berechnung über: $v_y(t_{HP})=0$
$0$ $\frac{v_0}{g}$ $0$ $\frac{v_0 sin(\alpha)}{g}$ $\frac{v_0 sin(\alpha)}{g}$
Die maximale Höhe $y_{HP}$
Berechnung über: $y(t_{HP})$
$y0$ $y_0 +\frac{v_0^2}{2g}$ $y_0$ $\frac{v_0^2 sin(\alpha)^2}{2g}$ $y_0 + \frac{v_0^2 sin(\alpha)^2}{2g}$