Senkrechter Wurf

  1. Bei den Wurf- und Fallaufgaben wird das Verhalten eines Objekts unter dem Einfluss der Erdanziehung für bestimmte Anfangsgeschwindigkeiten untersucht.
  2. Die Erde zieht alle Körper mit einer Masse m mit der Gewichtskraft $$\boxed{F = m \cdot g}$$ an. Dabei zeigt die Gewichtskraft zum Erdmittelpunkt, also nach unten.
  3. Wenn ein Objekt fallen gelassen wird, ist seine Anfangsgeschwindigkeit gleich Null. Wir sprechen dann von einem freien Fall. Hierbei wirkt nur die Erdanziehung in Form der Gewichtskraft.
  4. Wenn ein Objekt geworfen wird, ist seine Anfangsgeschwindigkeit ungleich Null. Wir sprechen dann von einem Wurf. Erfolgt der Wurf senkrecht nach oben, dann sprechen wir von einem vertikalen Wurf nach oben. Wird das Objekt horizontal, d. h. parallel zur Erdoberfläche geworfen, so sprechen wir von einem horizontalen Wurf. Erfolgt der Wurf schief, so sprechen wir von einem schiefen Wurf.

Der Senkrechte Wurf

  1. Beim senkrechten Wurf nach oben oder unten, wirkt nur die Gewichtskraft (nach unten). Es erfolgt keine Bewegung in horizontaler Richtung. Deshalb können wir das Problem in nur einer Dimension nämlich in der vertikalen Dimension (y-Achse) lösen (da sich ja in horizontaler Dimension nichts tut).
  2. Beim senkrechten Wurf nach oben, ist die Anfangsgeschwindigkeit in vertikaler Richtung ($v_{0,y}$) positiv. Beim senkrechten Wurf nach unten, ist die Anfangsgeschwindigkeit in vertikaler Richtung ($v_{0,y}$) hingegen negativ. In beiden Fällen ist die Anfangsgeschwindigkeit in vertikaler Richtung ungleich Null d. h. für die Anfangsgeschwindigkeit gilt $$\vec v_0 = \begin{pmatrix} 0 \\ v_{0,y} \end{pmatrix}$$ Dies ist der einzige Unterschied zwischen dem freien Fall (wo $v_{0,y}=0$) und dem senkrechten Wurf (wo $v_{0,y} \not = 0$).
  3. Für die Geschwindigkeit in Abhängigkeit von der Zeit gilt: $$\vec v(t) = \begin{pmatrix} 0 \\ -gt + v_{0,y} \end{pmatrix}$$
  4. Für die Position bzw. die zurückgelegte Strecke in Abhängigkeit von der Zeit gilt: $$\vec r(t) = \begin{pmatrix} 0 \\ - \frac 1 2 gt^2 + v_{0,y} t + y_0 \end{pmatrix}$$ Wobei $y_0$ die Starthöhe des Falls darstellt.
  5. Wie man sieht, ist für die Betrachtung des senkrechten Wurfs nur die vertikale Komponenten (y-Richtung) des Orts-, Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektors relevant. Deshalb machen wir uns das Leben einfach, in dem wir für den weiteren Verlauf das Problem in nur einer Dimension (y-Achse) betrachten und keine Vektoren verwenden.

Abschließende Bemerkungen zu Wurfaufgaben

  1. Wann wird die maximale Höhe erreicht?
    Wenn ein Objekt nach oben geworfen wird, wird es mit der Zeit langsamer, bis es zum Stillstand kommt und anschließend nach unten fällt. Am höchsten Punkt der Wurfbahn (HP) ist die Vertikale Geschwindigkeit gleich Null , d. h. $v_y(t_{HP})=0$. Hieraus kann nun die Zeit $t_{HP}$ berechnet werden, die ein Objekt benötigt, um den höchsten Punkt zu erreichen.
    Für die y-Koordinate (vertikale) der Geschwindigkeit gilt allgemein $$v_y (t) = -g t + v_{0,y}$$ Für den höchsten Punkt schreiben wir also $$v_y(t_{HP})=0$$ $$-g t_{HP} + v_{0,y} = 0$$ $$ t_{HP} = \frac{v_{0,y}}{g}$$
  2. Welche maximale Höhe erreicht ein Objekt nach dem Wurf?
    Am höchsten Punkt der Wurfbahn ist die Vertikale Geschwindigkeit gleich Null, d. h. $v_y(t_{HP})=0$. Hieraus kann nun die Zeit $t_{HP}$ berechnet werden, die ein Objekt benötigt, um den höchsten Punkt zu erreichen. Die maximale Höhe ist dann die y-Koordinate des höchsten Punktes, also $$y (t_{HP}) = - \frac 1 2 g t_{HP}^2 + v_{0,y} t_{HP} + y_{0,y}$$
  3. Wann erreicht das Objekt den Boden (auch Flugzeit genannt)?
    So, wie wir unser Bezugssystem gewählt haben, hat das Objekt am Boden die Höhe $y (t_F)=0$, wobei $t_F$ die gesuchte Flugzeit oder Aufprallzeit darstellt. Für die Höhe (d.h. die vertikale Komponente des Positionsvektors) gilt $$- \frac 1 2 gt_F^2 + v_{0,y} t_F + y_0 = 0$$ Wir multiplizieren beide Seiten der Gleichung mit $-\frac 2 g$ und erhalten $$t_F^2 -\frac {2 v_{0,y}}{g} t_F - \frac{2 y_0}{g} = 0$$ Dies ist eine quadratische Gleichung der Form $t^2+pt+q^2 =0$ mit $p=-\frac {2 v_{0,y}}{g}$ und $q=- \frac{2 y_0}{g}$, die wir mit der p-q-Formel lösen können $$t_{F} = \frac {v_{0,y}}{g} \pm \sqrt{(\frac {v_{0,y}}{g})^2 + \frac{2 y_0}{g}}$$ Dies ist die allgemeine Formel für die Flugzeit. Diese Formel kann für alle Wurfaufgaben verwendet werden. Für den senkrechten Wurf nach oben und unten ist die Flugzeit $$t_F = \frac {v_{0,y}}{g} \pm \sqrt{(\frac {v_{0,y}}{g})^2 + \frac{2 y_0}{g}}$$
    Ich empfehle dir diese Formel gar nicht auswendig zu lernen. Was du brauchst ist nur $y (t_F)=0$ für die Flugzeit und natürlich $y(t) = - \frac 1 2 gt^2 + v_{0,y} t + y_0$. Damit kannst du dir die Flugzeiten für alle möglichen Szenarien ausrechnen. Das musst du nur ein Paar mal selbst üben und dann klappt es auch. Mach dir nicht das Leben so schwer indem du alle Formeln auswendig lernst. Lerne von den Physikern und beschränke dich nur auf die wichtigen Formeln, die meistens mit einem Kasten umrandet sind. Physiker sind alles faule Leute (ich übrigens auch). Sie wollen die ganze Welt mit nur einer einzigen Formel beschreiben! Alles andere wird hergeleitet, wenn und wie man es benötigt.
  4. Mit welcher Geschwindigkeit erreicht das Objekt den Boden (Aufprallgeschwindigkeit)?
    Für die Geschwindigkeit in Abhängigkeit von der Zeit gilt: $$ v(t) = -gt + v_{0,y} $$ Beim Aufprall gilt $t=t_F$, die wir oben berechnet haben. Die Geschwindigkeit beim Aufprall ist also $$v(t_F) = -gt_F + v_{0,y}$$ Einsetzen ergibt $$v(t_F) = -g (\frac {v_{0,y}}{g} \pm \sqrt{(\frac {v_{0,y}}{g})^2 + \frac{2 y_0}{g}}) + v_{0,y}$$ Vereinfachen liefert $$v(t_F) = \sqrt{v^2_{0,y} + 2 g y_0}$$