Wurfbewegungen verstehen

  1. Bei den Wurf- und Fallaufgaben wird das Verhalten eines Objekts unter dem Einfluss der Erdanziehung für bestimmte Anfangsgeschwindigkeiten untersucht.
  2. Die Erde zieht alle Körper mit einer Masse m mit der Gewichtskraft $$\boxed{F = m \cdot g}$$ an. Dabei zeigt die Gewichtskraft zum Erdmittelpunkt, also nach unten.
  3. Wenn ein Objekt fallen gelassen wird, ist seine Anfangsgeschwindigkeit gleich Null. Wir sprechen dann von einem freien Fall. Hierbei wirkt nur die Erdanziehung in Form der Gewichtskraft.
  4. Wenn ein Objekt geworfen wird, ist seine Anfangsgeschwindigkeit ungleich Null. Wir sprechen dann von einem Wurf. Erfolgt der Wurf senkrecht nach oben, dann sprechen wir von einem vertikalen Wurf nach oben. Wird das Objekt horizontal, d. h. parallel zur Erdoberfläche geworfen, so sprechen wir von einem horizontalen Wurf. Erfolgt der Wurf schief, so sprechen wir von einem schiefen Wurf.

Der Schiefe Wurf

  1. Der schiefe Wurf ist die Kombination aus senkrechtem Wurf nach oben und waagerechtem Wurf. Der Trick besteht hierbei darin den Vektor der Anfangsgeschwindigkeit in vertikaler ($v_{0,y}$) und horizontaler ($v_{0,x}$) Richtung zu zerlegen. Danach werden die Richtungen unabhängig voneinander berücksichtigt.
  2. Beim schiefen Wurf, ist die Anfangsgeschwindigkeit in horizontaler und vertikaler Richtung ungleich Null, d. h. $$\vec v_0 = \begin{pmatrix} v_{0,x} \\ v_{0,y} \end{pmatrix}$$
  3. Für die Geschwindigkeit in Abhängigkeit von der Zeit gilt: $$\vec v(t) = \begin{pmatrix} v_{0,x} \\ -gt + v_{0,y} \end{pmatrix}$$
  4. Für die Position in Abhängigkeit von der Zeit gilt: $$\vec r(t) = \begin{pmatrix} v_{0,x} t + x_0 \\ - \frac 1 2 gt^2 + v_{0,y} t + y_0 \end{pmatrix}$$ Wobei $y_0$ die Starthöhe des Falls darstellt. Um die Betrachtung zu vereinfachen, wählen wir unser Bezugssystem so, dass gilt: $x_0 = 0$ und $y_0 = 0$. Für die Position in Abhängigkeit von der Zeit gilt dann: $$\vec r(t) = \begin{pmatrix} v_{0,x} t \\ - \frac 1 2 gt^2 + v_{0,y} t \end{pmatrix}$$
  5. Wie können wir aber die Anfangsgeschwindigkeit bestimmen, wenn nur die Gesamtgeschwindigkeit $v_{ges}$ und den Wurfwinkel $\alpha$ gegeben sind. Hierbei helfen uns der Sinus und der Kosinus $$\vec v_0 = \begin{pmatrix} v_{0,x} \\ v_{0,y} \end{pmatrix} = v_{ges} \cdot \begin{pmatrix} cos (\alpha) \\ sin (\alpha) \end{pmatrix}$$ $$\vec v_0 = \begin{pmatrix} v_{ges} \cdot cos (\alpha) \\ v_{ges} \cdot sin (\alpha) \end{pmatrix}$$

Abschließende Bemerkungen zu Wurfaufgaben

  1. Wann wird die maximale Höhe erreicht?
    Am höchsten Punkt der Wurfbahn ist die Vertikale Geschwindigkeit gleich Null, d. h. $v_y(t_{HP})=0$. Hieraus kann nun die Zeit $t_{HP}$ berechnet werden, die ein Objekt benötigt, um den höchsten Punkt zu erreichen.
    Für die y-Koordinate (vertikale) der Geschwindigkeit gilt allgemein $$v_y (t) = -g t + v_{0,y}$$ Für den höchsten Punkt schreiben wir also $$v_y(t_{HP})=0$$ $$-g t_{HP} + v_{0,y} = 0$$ $$ t_{HP} = \frac{v_{0,y}}{g}$$ Da $v_{0,y} =v_0 sin (\alpha)$ erhalten wir $$ t_{HP} = \frac{v_0 sin (\alpha)}{g}$$
  2. Welche maximale Höhe erreicht ein Objekt nach dem Wurf?
    Am höchsten Punkt der Wurfbahn ist die Vertikale Geschwindigkeit gleich Null, d. h. $v_y(t_{HP})=0$. Hieraus kann nun die Zeit $t_{HP}$ berechnet werden, die ein Objekt benötigt, um den höchsten Punkt zu erreichen. Die maximale Höhe ist dann die y-Koordinate des höchsten Punktes, also $$y (t_{HP}) = - \frac 1 2 g t_{HP}^2 + v_{0,y} t_{HP}$$
  3. Wann erreicht das Objekt den Boden (auch Flugzeit genannt)?
    So, wie wir unser Bezugssystem gewählt haben, hat das Objekt am Boden die Höhe $y (t_F)=0$, wobei $t_F$ die gesuchte Flugzeit oder Aufprallzeit darstellt. Für die Höhe (d.h. die vertikale Komponente des Positionsvektors) gilt $$- \frac 1 2 gt_{F}^2 + v_{0,y} t_F = 0$$ Wir multiplizieren beide Seiten der Gleichung mit $-\frac 2 g$ und erhalten $$t_{F}^2 -\frac {2 v_{0,y}}{g} t_F = 0$$ Dies ist eine quadratische Gleichung der Form $t^2+pt+q^2 =0$ mit $p=-\frac {2 v_{0,y}}{g}$ und $q=0$, die wir mit der p-q-Formel lösen können $$t_F = \frac {v_{0,y}}{g} \pm \sqrt{(\frac {v_{0,y}}{g})^2 }$$ Für den schiefen Wurf ist die Flugzeit $$t_F = \frac {v_{0,y}}{g} \pm \sqrt{(\frac {v_{0,y}}{g})^2 }$$ $$t_F = \frac {v_{0,y}}{g} \pm \frac {v_{0,y}}{g}$$ $$t_F = 0 \text {, } t_F = \frac {2 v_{0,y}}{g}$$ Die $t_F = 0$ gilt für den wurfbeginn, da zu Beginn des Wurfs das Objekt noch nicht geworfen und deshalb die Hohe Null hat. Am Ende des Wurfs zum Zeitpunkt $t_F = \frac {2 v_{0,y}}{g}$ erreicht das Objekt natürlich auch den Boden. Beim schiefen Wurf können wir für die Anfangsgeschwindigkeit schreiben $v_{0,y} =v_0 sin (\alpha)$, wobei $\alpha$ der Wurfwinkel darstellt. Einsetzen ergibt: $$t_F = \frac {2 v_0 sin (\alpha)}{g}$$
    Ich empfehle dir diese Formel gar nicht auswendig zu lernen. Was du brauchst ist nur $y (t_F)=0$ für die Flugzeit und natürlich $y(t) = - \frac 1 2 gt^2 + v_{0,y} t $. Damit kannst du dir die Flugzeiten für alle möglichen Szenarien ausrechnen. Das musst du nur ein Paar mal selbst üben und dann klappt es auch. Mach dir nicht das Leben so schwer indem du alle Formeln auswendig lernst. Lerne von den Physikern und beschränke dich nur auf die wichtigen Formeln, die meistens mit einem Kasten umrandet sind. Physiker sind alles faule Leute (ich übrigens auch). Sie wollen die ganze Welt mit nur einer einzigen Formel beschreiben! Alles andere wird hergeleitet, wenn und wie man es benötigt.
  4. Mit welcher Geschwindigkeit erreicht das Objekt den Boden (Aufprallgeschwindigkeit)?
    Für die Geschwindigkeit in Abhängigkeit von der Zeit gilt: $$\vec v(t) = \begin{pmatrix} v_{0,x} \\ -gt + v_{0,y} \end{pmatrix}$$ Beim Aufprall gilt $t=t_F$, die wir oben berechnet haben. Der Geschwindigkeitsvektor beim Aufprall lautet also $$\vec v(t_F) = \begin{pmatrix} v_{0,x} \\ -gt_F + v_{0,y} \end{pmatrix}$$ Für die Größe der Geschwindigkeit, d.h. den Betrag des Geschwindigkeitvektors gilt $$v =\sqrt{(v_{0,x})^2 +(-gt_F + v_{0,y})^2}$$ Wobei $v_{0,x} =v_0 cos (\alpha)$, $v_{0,y} =v_0 sin (\alpha)$ und $t_F = \frac {2 v_0 sin (\alpha)}{g}$
    Ich empfehle dir diese Formel gar nicht auswendig zu lernen. Was du brauchst ist nur $y (t_F)=0$ für die Flugzeit und natürlich $y(t) = - \frac 1 2 gt^2 + v_{0,y} t $. Damit kannst du dir die Flugzeiten für alle möglichen Szenarien ausrechnen. Das musst du nur ein Paar mal selbst üben und dann klappt es auch. Mach dir nicht das Leben so schwer indem du alle Formeln auswendig lernst. Lerne von den Physikern und beschränke dich nur auf die wichtigen Formeln, die meistens mit einem Kasten umrandet sind. Physiker sind alles faule Leute (ich übrigens auch). Sie wollen die ganze Welt mit nur einer einzigen Formel beschreiben! Alles andere wird hergeleitet, wenn und wie man es benötigt.
  5. Wie weit fliegt das Objekt, bis es den Boden erreicht?
    Um diese Frage zu beantworten, benötigen wir die Flugzeit $t_F$, die wir weiter oben berechnet haben. Die horizontale Strecke, die das Objekt zurücklegt ist gegeben durch $$x(t) = v_{0,x} t$$ mit $v_{0,x} =v_0 cos (\alpha)$. Die Wurfweite $x_F$, d.h. die Strecke, die das Objekt bis zum Aufprall zurücklegt, ist gegeben durch $$x_F=x(t_F) = v_{0,x} t_F$$ $$x(t_F) = v_0 cos (\alpha) ( \frac {2 v_0 sin (\alpha)}{g})$$ $$x(t_F) = \frac {2 v^2_0 cos (\alpha) sin (\alpha)}{g}$$ Streber der Nation wissen, dass $$sin(\alpha+\beta) = sin(\alpha)cos(\beta) +cos(\alpha)sin(\beta)$$ Wir setzen $\alpha=\beta$ und erhalten $$sin(\alpha+\alpha) = sin(\alpha)cos(\alpha)+cos(\alpha)sin(\alpha)$$ $$s(2 \alpha) = 2 sin(\alpha)cos(\alpha)$$ $$sin(\alpha)cos(\alpha) = \frac{sin(2 \alpha)}{2}$$ Einsetzen in $x_F$ liefert $$x(t_F) = \frac {v^2_0 sin (2 \alpha)}{g}$$
    Ich empfehle dir diese Formel gar nicht auswendig zu lernen. Was du brauchst ist nur $y (t_F)=0$ für die Flugzeit und natürlich $y(t) = - \frac 1 2 gt^2 + v_{0,y} t $. Damit kannst du dir die Flugzeiten für alle möglichen Szenarien ausrechnen. Das musst du nur ein Paar mal selbst üben und dann klappt es auch. Mach dir nicht das Leben so schwer indem du alle Formeln auswendig lernst. Lerne von den Physikern und beschränke dich nur auf die wichtigen Formeln, die meistens mit einem Kasten umrandet sind. Physiker sind alles faule Leute (ich übrigens auch). Sie wollen die ganze Welt mit nur einer einzigen Formel beschreiben! Alles andere wird hergeleitet, wenn und wie man es benötigt.
  6. Bei welchem Wurfwinkel kommt das Objekt am weitesten?
    Für die Wurfweite haben wir berechnet $$x(\alpha) = \frac {v^2_0 sin (2 \alpha)}{g}$$ Wie man leicht erkennen kann hängt die Wurfweite von dem Wurfwinkel $\alpha$ ab. Die Begriffe am weitesten, am höchsten, am größten, am niedrigsten, am längsten sind Wordings, die mathematisch sogenannten Extremwertaufgaben beschreiben. Bei einer Extremwertaufgabe wird das Maximum bzw. das Minimum einer Funktion berechnet. Die Mathematik lehrt uns, dass eine Funktion $f(x)$ den maximalen oder den minimalen WErt annimmt, wenn ihre Ableitung gleich Null ist, d.h. $f'(x)=0$. Schauen wir also wann $x'(\alpha)=0$ gilt. Die Ableitung der Wurfweite lautet $$x'(\alpha) = 2 \frac {v^2_0 cos (2 \alpha)}{g}$$ Setzen wir die Ableitung gleich Null und erhalten $$2 \frac {v^2_0 cos (2 \alpha)}{g} = 0$$ $$ cos (2 \alpha) = 0$$ $$2 \alpha = 90 \degree$$ $$\alpha = 45 \degree$$ Bei einem Winkel von $\alpha=45 \degree$ ist die Wurfweite am größten, d. h. das Objekt wird am weitesten geworfen.
    Ich empfehle dir diese Formel gar nicht auswendig zu lernen. Was du brauchst ist nur $y (t_F)=0$ für die Flugzeit und natürlich $y(t) = - \frac 1 2 gt^2 + v_{0,y} t $. Damit kannst du dir die Flugzeiten für alle möglichen Szenarien ausrechnen. Das musst du nur ein Paar mal selbst üben und dann klappt es auch. Mach dir nicht das Leben so schwer indem du alle Formeln auswendig lernst. Lerne von den Physikern und beschränke dich nur auf die wichtigen Formeln, die meistens mit einem Kasten umrandet sind. Physiker sind alles faule Leute (ich übrigens auch). Sie wollen die ganze Welt mit nur einer einzigen Formel beschreiben! Alles andere wird hergeleitet, wenn und wie man es benötigt.