Wie multipliziert man Vektoren?

  1. In Kapitel 2 haben wir gelernt, dass viele physikalische Größen Vektoren sind. Ein Vektor ist eine Größe, die eine Richtung und eine Länge hat.
  2. Die Länge eines Vektors $\vec{v}$ wird auch als sein Betrag bezeichnet und mit $\lvert \vec{v} \rvert$ oder $\lVert \vec{v} \rVert$ dargestellt. Für den Vektor $\vec{v} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ ist der Betrag (die Länge) $\lvert \vec{v} \rvert = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$.
  3. Ein Vektor mit der Länge 1 wird als einen Einheitsvektor bezeichnet.
  4. Betrachten wir den Vektor $\vec{a} = \begin{pmatrix} a_x \\ a_y \\ a_z \end{pmatrix}$ und den Vektor $\vec{b} = \begin{pmatrix} b_x \\ b_y \\ b_z \end{pmatrix}$. Wir multiplizieren diese Vektoren, indem wir die x-Koordinaten miteinander, die y-Koordinaten miteinander, die z-Koordinaten miteinander multiplizieren und anschließend die Summe bilden, d.h. alles aufaddieren. Mathematisch schreiben wir das so $$\vec{a} \cdot \vec{b} = \begin{pmatrix} a_x \\ a_y \\ a_z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} b_x \\ b_y \\ b_z \end{pmatrix}$$ $$\boxed{\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x \cdot b_x + a_y \cdot b_y + a_z \cdot b_z}$$ Dieses Produkt zweier Vektoren, das eine einzige Zahl liefert, bezeichnen wir als das Skalarprodukt.
  5. Ein Beispiel: Das Skalarprodukt der Vektoren $\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}$ und $\vec{b} = \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}$ beträgt $$\begin{aligned} \vec{a} \cdot \vec{b} &= 2 \cdot 5 -1 \cdot 3 + 4 \cdot (-1) \\ &= 10 -3 -4 \\ &=3 \end{aligned} $$
  6. Es gibt eine zweite Möglichkeit das Skalarprodukt zu bilden.
    Betrachten wir zwei Vektoren $\vec a$ und $\vec b$ von denen wir die Länge (d. h. den Betrag) kennen. Diese Längen bezeichnen wir mit $\lvert \vec{a} \rvert$ und $\lvert \vec{b} \rvert$. Nun brauchen wir nur noch den Winkel zwischen diesen Vektoren. Diesen bezeichnen wir mit $\gamma$. Wenn wir die Länge zweier Vektoren und den Winkel, den sie einschließen kennen, können wir folgendermaßen ihr Skalarprodukt berechnen $$\boxed{\vec{a} \cdot \vec{b} = \lvert \vec{a} \rvert \cdot \lvert \vec{b} \rvert \cdot \cos {\gamma} }$$ Diese Definition des Skalarprodukts ist viel wichtiger und hilfreicher!
  7. Ein Beispiel: Vektor $\vec{a}$ hat die Länge $\lvert \vec a \rvert = 5 $ und Vektor $\vec{b}$ die Länge $\lvert \vec b \rvert = 2 $. Der Winkel zwischen $\vec a$ und $\vec b$ beträgt $\gamma = 60 \degree$. Ihr Skalarprodukt lautet $$\begin{aligned} \vec{a} \cdot \vec{b} &= 5 \cdot 2 \cdot \cos {60 \degree} \\ &= 10 \cdot 0,5 \\ &= 5 \end{aligned}$$
  8. Eigenschaften und Anwendungen

    test

    Abbildung 1a: Die orthogonale Projektion (senkrechter Lot) des Vektors a auf den Vektor b
    Abbildung 1b: Das Ablesen von Koordinaten eines Vektors ist durch Bildung
    von Skalarprodukt mit den Einheitsvektoren der Koordinatenachsen möglich.

  9. Betrachten wir das Skalarprodukt zweier Vektoren $$\vec{a} \cdot \vec{b} = \lvert \vec{a} \rvert \cdot \lvert \vec{b} \rvert \cdot \cos {\gamma} $$ Wenn die Vektoren senkrecht aufeinander stehen ist natürlich $\gamma = 90 \degree$. Streber der Nation wissen, dass $cos (90 \degree) = 0$.
    Das Skalarprodukt von zwei Vektoren, die senkrecht aufeinander stehen ist Null, d. h. $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.

    Mathematiker verwenden anstatt "senkrecht" das Wort "orthogonal" und anstatt "Null" das Wort "Verschwinden". Versuchen wir es nochmal als Mathematiker:
    Das Skalarprodukt orthogonaler Vektoren verschwindet! (Yeah!).
  10. Betrachten wir das Skalarprodukt zweier Vektoren $$\vec{a} \cdot \vec{b} = \lvert \vec{a} \rvert \cdot \lvert \vec{b} \rvert \cdot \cos {\gamma} $$ Wenn die Vektoren parallel zu einander stehen ist natürlich $\gamma = 0 \degree$. Streber der Nation wissen, dass $cos (0 \degree) = 1$.
    Das Skalarprodukt von zwei parallelen Vektoren ist gleich dem Produkt ihrer Längen, d. h. $\vec{a} \cdot \vec{b} = \lvert \vec{a} \rvert \cdot \lvert \vec{b} \rvert $

    Ein besondere Fall ist, wenn wir einen Vektor mit sich selbst multiplizieren. Ein Vektor ist immer zu sich selbst parallel, d. h. $\vec{a} \cdot \vec{a} = (\lvert \vec{a} \rvert)^2$
  11. Und nun zur besten Eigenschaft des Skalarprodukts: "Die orthogonale Projektion" (auf Deutsch: der senkrechte Lot)
    Betrachten wir die Abbildung 1a: Durch einen senkrechten Lot kann der Vektor $\vec a$ auf den Vektor $\vec b$ projiziert werden. Das Skalarprodukt $\vec a \cdot \vec b$ stellt dann die Projektionslänge von $\vec a$ auf $\vec b$ dar.
  12. Jedes Mal, wenn wir die Koordinaten eines Vektors ablesen, bilden wir senkrechte Lote zu den Koordinatenachsen. Mathematisch bilden wir also Skalarprodukte (Abbildung 1b).
  13. Das zweidimensionale Koordinatensystem, dass wir in der Schule verwenden, ist zwischen der x-Achse mit dem Vektor $\vec{e_x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ und der y-Achse mit dem Vektor $\vec{e_y} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ aufgespannt.
    Beispiel: Welche Koordinaten hat der Vektor $\vec a = \begin{pmatrix} 5 \\ -2 \end{pmatrix}$?
    Natürlich 5 und -2. Aber wie kommen wir dazu?
    Indem wir Skalarprodukte bilden:
    x-Koordinate $$a_x= \vec a \cdot \vec {e_x} = \begin{pmatrix} 5 \\ -2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} =5 +0 = 5$$ y-Koordinate $$a_x= \vec a \cdot \vec {e_y} = \begin{pmatrix} 5 \\ -2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} =0 -2 = -2$$ Hinweis für die Streber der Nation: Ein Koordinatensystem, welches zwischen den Vektoren $\vec{e_x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ und $\vec{e_y} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ aufgespannt wird, bezeichnet man als ein Kartesisches Koordinatensystem.