Impulserhaltung

  1. Ein System, welches keine äußeren Kräfte erfährt, bezeichnen wir als ein abgeschlossenes System.
  2. Wenn keine äußeren Kräfte auf das System wirken, gilt $F_{ges}=0$.
  3. Für den Impuls gilt $\Delta p = F \cdot \Delta t$. Umformung nach F ergibt $$ F = \frac{\Delta p}{\Delta t}$$
  4. In Kapitel 1 haben wir gelernt, dass wir $\Delta p = p_2-p_1$ und $\Delta t=t_2-t_1$ schreiben können. Einsetzen liefert $$F = \frac{p_2 - p_1}{t_2 - t_1}$$
  5. Wenn keine äußeren Kräfte auf das System wirken, gilt $F_{ges}=0$, d.h. $$\frac{p_2-p_1}{t_2-t_1} = 0$$Ein Bruch ist dann gleich Null, wenn der Zähler gleich Null ist, d.h. $p_2 - p_1=0$. Umformung zeigt $$p_2=p_1$$
  6. Bedeutung: In Kapitel 1 (Lektion: Was ist eine Funktion) haben wir gelernt, dass $p_2$ der Impuls zum Zeitpunkt $t_2$ und $p_1$ der Impuls zum Zeitpunkt $t_1$ darstellen. Mathematiker schreiben dies so $p_2 = p(t_2)$ und $p_1 = p(t_1)$
  7. Die Gleichung $p2=p1$ bedeutet, dass sich der Impuls eines abgeschlossenen Systems mit der Zeit nicht ändert, d.h. $$\boxed{p(t) = \text{konstant}}$$Dies wird als Impulserhaltung bezeichnet.
  8. Die Impulserhaltung gilt immer unabhängig von Energieerhaltung. Deshalb ist sie wichtiger und nützlicher als die Energieerhaltung.
  9. Beispiel für Impulserhaltung
    Ein Astronaut (Masse $m_A = 100 [kg]$ wirft im All einen Hammer (Masse $m_H= 1[kg]$) mit einer Geschwindigkeit von $v_H = 20 [\frac m s]$ von sich weg. Mit welcher Geschwindigkeit bewegt sich der Astronaut nach dem Wurf?

    Die Impulserhaltung sagt, dass der Gesamtimpuls eines Systems ohne Einwirken von äußeren Kräften stets gleich bleibt.

    Impuls vor dem Wurf:
    Da wir nicht wissen, wie sich der Astronaut mit seinem Hammer vor dem Wurf bewegt hat, wählen wir ein Bezugssystem (d.h. ein Koordinatensystem), das sich mit dem Astronauten mitbewegt. In diesem Bezugssystem, haben der Astronaut und sein Hammer die Geschwindigkeit Null ($v_A = 0$ und $v_H=0$). Für den Impuls gilt: $$p_{vorher} = m_A \cdot v_A + m_H \cdot v_H = 0$$ Nach dem Wurf bewegt sich der Hammer mit $v_H = 20 [\frac m s]$ vom Astronauten weg. Der Gesamtimpuls des Systems, darf sich aber gemäß Impulserhaltung nicht verändert haben, d.h. $$p_{nachher} = m_A \cdot v_A + m_H \cdot v_H = 0$$ Formen wir diese Gleichung nach $v_A$ um und erhalten: $$v_A = - \frac {m_H \cdot v_H}{m_A}$$ Einsetzen der Werte ergibt: $$\begin{aligned} v_A &= - \frac {1 [kg] \cdot 20 [\frac m s]}{100 [kg]} \\ &= 0.2 [\frac m s] \end{aligned}$$ Das negative Vorzeichen der Geschwindigkeit besagt, dass sich der Astronaut in entgegengesetzter Richtung zum Hammer bewegt.
  10. Die Impulserhaltung ist eine direkte Folge der Homogenität des Raumes. Dies bedeutet, dass die physikalischen Gesetze unabhängig davon gelten, ob wir uns von Rechts nach Links, von Vorne nach Hinten, oder von Oben nach Unten bewegen.
    Für Streber der Nation: Dies wird als Invarianz der Naturgesetze gegenüber Raumdimensionen bezeichnet.